Hermann Minkowski
(Aleksota 1864 - Gottinga 1909)
Matematico  lituano.

Spirito alquanto fantasioso fu il lituano Hermann Minkowski, matematico eminente. Nacque ad Aleksota, presso Kovno, il 22 giugno 1864. Sin da fanciullo manifestò precoce intelligenza e amore allo studio. Con tenace volontà, attratto da un'accentuata inclinazione per le scienze esatte, riuscì a nutrirsi d'una vasta e profonda cultura in tutti i rami delle matematiche. E ne divenne talmente edotto che, nel 1882, non ancora diciottenne, esordì improvvisamente pubblicando una memoria sui fondamenti della teoria delle forme quadratiche a coefficienti interi a più variabili, che gli meritò il Gran prix des sciences mathématiques, indetto dall' Accademia di Parigi. Successivamente, pubblicò una vasta serie di lavori, attinenti allo stesso argomento, che costituiscono, nel loro insieme, una organica teoria invariantiva delle forme quadratiche aritmetiche. Le sue spiccate doti didattiche lo spinsero presto a dedicarsi all'insegnamento. Nel 1896, fu nominato professore al Politecnico di Zurigo. Quivi ebbe, fra i suoi allievi, Albert Einstein, il celebre autore della Relatività e Walter Ritz, il valentissimo giovane fisico-matematico, prematuramente sottratto alla vita da inesorabile morbo. Nel 1903 fu trasferito all'Università di Gottinga, dove rimase fino alla morte.
Le ricerche speciali di cui, per molti anni, si era occupato, lo indussero ad assurgere ad una concezione geometrica della teoria dei numeri. Fu, appunto, per lo studio di questa teoria che egli, nel 1908, ideò una nuova geometria differente da quella ordinaria euclidea in un senso ben diverso da quello con cui furono costruite le geometrie non-euclidee, propriamente dette, di Bolyai-Lobacewskij. E di questa geometria pseudo-euclidea di Minkowski che vogliamo dare un'idea.
Lo spazio e il tempo vengono considerati, nella meccanica classica, quali enti reali, assoluti, cioè indipendenti dagli oggetti che vi si trovano e dal soggetto che li percepisce. Un avvenimento è individuato dal luogo in cui si verifica e dal momento in cui avviene. Così, se due corpi s'incontrano, l'incontro sarà individuato se si conoscerà la posizione e l'istante in cui esso è avvenuto. Pertanto, non bastano le tre coordinate cartesiane x,y,z, per individuare l'incontro, ma a queste occorre aggiungere un valore t che ne misuri il tempo. Spazio e tempo, però, si ritengono indipendenti l'uno dall'altro. Con la relatività dell'Einstein il tempo perde il suo carattere assoluto, la sua aseità. L'intervallo di tempo fra due eventi varia, passando da un  osservatore ad un altro, in moto rispetto al primo. Precisamente, la durata d'uno stesso evento è maggiore in condizioni di moto che in condizioni di quiete. È ciò che, nella teoria della Relatività ristretta, costituisce la cosiddetta dilatazione dei tempi. Anche lo spazio diventa relativo, con Einstein. Nel passaggio da un osservatore ad un altro, mobile rispetto al primo, non si conserva la lunghezza d'un segmento. Precisamente, la lunghezza d'un segmento in moto longitudinalmente è minore della sua lunghezza misurata in quiete. È questa la cosiddetta contrazione delle lunghezze.
Lo spazio e il tempo, pertanto, non hanno più un valore oggettivo, perchè dipendenti dallo stato di moto dell' osservatore. Inoltre, lo spazio appare strettamente legato al tempo: un evento è da concepirsi come sintesi di luoghi e di tempi. Non vi è luogo se non in un tempo determinato; non vi è tempo se non ci si riporti all' osservazione di un luogo determinato. In altri termini, lo spazio e il tempo appaiono indissolubilmente legati. Ebbene, questo legame viene messo in luce dal Minkowski, con una felice rappresentazione geometrica, la quale ha avuto una notevole influenza sullo sviluppo della teoria della relatività. In una conferenza tenuta a Colonia il 21 settembre 1908 per l' 80° Congresso di medici e naturalisti tedeschi, egli, così si esprime: "D'ora innanzi lo spazio e il tempo in sè e per sè devono tramontare e soltanto una specie di intima unione dell'uno e dell'altro può avere una esistenza autonoma". Egli, cioè, fonde spazio e tempo e propone di considerare lo spazio e il tempo come un continuo a quattro dimensioni. Nasce così, con Minkowski, lo spazio-tempo quadridimensionale, detto anche cronòtopo (dal greco χρόvoς = tempo e -τόπος = luogo), parola creata da Vincenzo Gioberti nella sua opera Della Protologia e riesumata da E. Troilo a proposito della Relatività. Allora, per analogia con l'ordinaria geometria analitica, un evento è rappresentato da un punto (detto punto-avvenimento o punto-universale) il quale è individuato dalla quaterna di numeri x, y, z, t, denominati coordinate spazio-temporali o cronotopiche, dove x, y, z sono le solite coordinate cartesiane e t è il tempo. L'insieme di tutti i punti-avvenimento costituisce l'universo spazio-tempo quadridimensionale, chiamato anche l'universo di Minkowski.
Nell'ultimo periodo della sua attività, egli diede, servendosi di questa sua geometria, una formulazione sistematica della Relatività ristretta dell'Einstein.
Al Minkowski si deve anche un metodo, veramente geniale, col quale si deduce la nozione di area di una superficie da quella di volume. Ecco come, ricorrendo necessariamente ad un linguaggio in prevalenza intuitivo. Sia σ una superficie qualunque dotata, come accade nei casi più frequenti, di piano tangente in ogni suo punto, e quindi di normale, e consideriamo i segmenti perpendicolari di lunghezza h situati tutti da una stessa parte della superficie σ. Gli estremi di questi segmenti determinano una superficie σ1 che limita, con σ , un solido, detto strato, il cui volume è, manifestamente, funzione di h: lo denotiamo, pertanto, con V(h). Se la superficie σ è piana, lo strato, che così viene a determinarsi, è un prisma od un cilindro il cui volume si ottiene moltiplicando l'area S di σ per lo spessore h, cioè: V = Sh; e perciò, viceversa, l'area S di σ è data da: S = V:h.  Se, invece, si considera uno strato qualunque, cioè originato da una superficie curva, il rapporto tra il volume V(h) dello strato ed il suo spessore h dà l'area d'una superficie compresa tra le superficie costituenti le due facce dello strato, e tale area rappresenta un valore approssimato dell' area S di σ. E’ intuitivo che il valore S di quest'area sarà tanto più approssimato quanto più piccolo è lo spessore h. Ebbene, il Minkowski assume, per definizione, come area S della superficie σ il limite, per h tendente a zero, del rapporto V(h) : h; cioè:

                                                          V(h)
                  S = lim   ---------
                                           h→0        h

Quest'uomo illustre, nel pieno della sua attività precocemente troncata, si spense a Gottinga il 12 gennaio 1909.


Salvatore Nicotra
tratto da "La Scienza e i giovani" anno IX 1960 n° 7 Le Monnier
editore.



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Hermann Minkowski
A cento anni dalla sua nascita, la teoria einsteiniana della relatività è uno dei linguaggi correnti della fisica contemporanea e un caposaldo della visione scientifica del mondo. Il volume illustra la relatività speciale, dai suoi fondamenti fino alle applicazioni teoriche più importanti, e fornisce un'introduzione alla relatività generale. Nei primi capitoli sono esposte le basi della relatività speciale, per passare poi allo spazio-tempo di Minkowski, alla formulazione covariante della meccanica relativistica, alle applicazioni in fisica nucleare e subnucleare, e all'elettrodinamica, fino a concludere con la teoria classica dei campi e la relatività generale. Il libro è corredato da numerosi complementi e da centocinquanta problemi.


Minkowski  in Rete:

<<< Hermann Minkowski. Biografia.in inglese.

<<< Hermann Minkowski. Concordia University. International Conference on the Ontology of Spacetime.
Interessante e ricca pagina web interamente dedicata ai temi scientifici di Minkowski.



La geometria è costituita da un insieme di enti astratti (figure geometriche) e di loro proprietà (teoremi) enunciabili sotto forma di ”proposizioni”. Figure geometriche e teoremi sono deducibili, con le regole della logica, tramite le definizioni e le dimostrazioni, da altre figure geometriche e da altri teoremi, che a loro volta sono deducibili da altre figure geometriche e da altri teoremi e così via, secondo un processo iterativo che, percorso a ritroso, deve avere necessariamente termine in enti geometrici e proprietà non ulteriormente deducibili da altri e pertanto indefinibili e indimostrabili: le idee primitive e le proposizioni primitive, dette anche assiomi o postulati. Questi sono i fondamenti della geometria, sui quali si erige l’intero edificio geometrico. Dunque, l’ideale di Platone di una geometria che tutto definisca e dimostri non è realizzabile, perché all’inizio di qualunque geometria esistono sempre degli indefinibili e degli indimostrabili, di cui dobbiamo ricercare una giustificazione al di fuori della geometria: nel mondo fisico (intuizionismo), o nella logica (logicismo), oppure nel mondo del puro spirito creativo semplicemente “postulando” la loro verità (formalismo assiomatico/convenzionalismo).
Per circa due millenni, l’unica e indiscussa forma di conoscenza geometrica concepita dall’uomo è stata quella codificata dal grande matematico greco Euclide nei suoi Elementi. Tuttavia, l’ultimo dei postulati euclidei, il quinto, non avendo lo stesso carattere di evidenza fisica degli altri, ha sempre lasciato nei posteri il dubbio che fosse dimostrabile e quindi che non fosse un postulato. Esistono vari enunciati equivalenti del quinto postulato, diversi da quello originariamente dato da Euclide. Il più noto di essi è quello che va sotto il nome di “unicità della parallela”:
Per un punto fuori di una retta, in un piano, si può condurre una parallela e una soltanto alla retta data.
Nel tentativo di dimostrare tale postulato, e quindi emendare l’opera del maestro, nel 1733 il padre gesuita Giovanni Gerolamo Saccheri scrisse un’opera dal titolo Euclides ab omni naevo vindicatus (“Euclide liberato da ogni difetto”). Con suo grande disappunto, invece, il gesuita, seguendo con rigore il ragionamento logico, arrivò alla conclusione che le due possibili negazioni del quinto postulato (esistono infinite parallele / non esiste alcuna parallela ad una retta per un punto fuori di essa) erano entrambe accettabili, il che significava che erano logicamente valide anche le rispettive geometrie fondate su di esse e quindi diverse dalla geometria euclidea. Per tale motivo, l’opera del Saccheri, oggi, è considerata l’atto di nascita delle cosiddette geometrie non-euclidee.
Prima della loro scoperta, l’unico punto di vista sui fondamenti della matematica era l’intuizionismo, per cui “vero” significava accordo con la realtà fisica. Le geometrie non-euclidee, con la rivoluzionaria affermazione che diverse geometrie sono possibili, furono uno stimolo fondamentale per i matematici dei secoli XIX e XX ad approfondire il problema dei fondamenti della geometria e della matematica tutta. Fino al secolo XIX i matematici erano stati impegnati soprattutto in nuove scoperte e generalmente poco si erano curati della perfetta correttezza logica dell’assetto della loro materia. Verso la fine del secolo XIX e i primi del secolo XX, invece, sensibilizzati proprio dal “caso” delle geometrie non-euclidee e dalle inesattezze e lacune logiche degli Elementi di Euclide, essi s’interessarono particolarmente al problema della struttura logica delle varie branche della matematica. La preoccupazione fondamentale era dimostrare l’assenza di contraddizioni all’interno di ogni ramo della matematica. Infatti, affinché sia garantita la coerenza logica di una qualsiasi sua branca, è necessario non soltanto garantire la correttezza logica dei procedimenti deduttivi applicati (dimostrazioni), ma anche la non contraddizione degli assiomi: se questi fossero contraddittori, tutto ciò che da essi discende lo sarebbe pure! Inoltre, se altre geometrie, fondate su assiomi diversi da quelli della geometria euclidea, si erano dimostrate possibili, prima soltanto logicamente e poi anche fisicamente, emergeva un problema nuovo rispetto al passato, quello di stabilire in qual modo doveva essere concepita la verità degli assiomi, in altri termini il problema dell’invalidazione dei fondamenti della geometria e della matematica tutta.
Tali ricerche sui fondamenti della matematica produssero accese controversie fra i matematici, iniziate verso la fine del secolo XIX e culminate agli inizi del secolo XX, portando alla formazione di diverse correnti di pensiero, caratterizzate sostanzialmente dal diverso modo di affrontare il problema della validità dei principi e, di conseguenza, anche da un diverso modo di concepire il significato e l’insegnamento della matematica. Schematicamente, esse si possono oggi raggruppare in tre principali scuole di pensiero matematico: l’intuizionismo, il logicismo e l’assiomatismo-formalismo, cui si è aggiunta successivamente quella del positivismo logico o neo-positivismo, che non riguarda esclusivamente la matematica, bensì in generale tutta la scienza. Si tratta di una pura e semplice schematizzazione, poiché in realtà i matematici in genere aderiscono a tali indirizzi secondo varie sfumature. Per esempio Henri Poincarè può essere considerato un intuizionista, per il valore da lui dato all’intuizione come strumento di conoscenza, ma anche un formalista, per il valore di semplici convenzioni da lui dato ai fondamenti della matematica.
Luca Nicotra

Tratto da:  "Notizie in...Controluce" anno XII nn. 7,8,9 (2003)
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La struttura logica della geometria e il problema dei fondamenti
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A pioneering genius of pure and applied mathematics, Hermann Minkowski founded the geometry of numbers. But until Harris Hancock interpreted Minkowski's writings, placing them in clear, readable form, they were accessible only to a few specialists. This classic two-volume edition returns Hancock's brilliant exposition to the mathematics community after a long hiatus. It focuses primarily on geometric problems involving integers and with algebraic problems approachable through geometrical insights. In addition to demonstrating that geometric proofs and theorems in number theory are often simpler and more elegant than arithmetic proofs, the author illuminates many other algebraic and geometric topics. Both volumes 55/8 x 81/2.





A pioneering genius of pure and applied mathematics, Hermann Minkowski founded the geometry of numbers. But until Harris Hancock interpreted Minkowski's writings, placing them in clear, readable form, they were accessible only to a few specialists. This classic two-volume edition returns Hancock's brilliant exposition to the mathematics community after a long hiatus. It focuses primarily on geometric problems involving integers and with algebraic problems approachable through geometrical insights. In addition to demonstrating that geometric proofs and theorems in number theory are often simpler and more elegant than arithmetic proofs, the author illuminates many other algebraic and geometric topics. Both volumes 55/8 x 81/2..
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